Los sistemas numéricos son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para representar números datos.
Los sistemas numéricos se clasifican según su base.
Binario
El sistema binario, de este modo, emplea sólo dos dígitos o cifras: el cero (0) y el uno (1). Distinto es el caso, por ejemplo, del
sistema decimal, que utiliza diez dígitos (del cero al nueve), o del hexadecimal, con sus dieciséis elementos (del cero al nueve, y luego de la ‘A’ a la ‘F’). Si bien el sistema decimal es el más conocido por todos, dado que es el primero que nos enseñan en la escuela y el que usamos para los cálculos básicos de la vida cotidiana, los otros dos tienen una gran importancia en diferentes campos, tales como la informática.
En la actualidad, la popularidad del sistema binario radica en que es el empleado por los ordenadores (
computadoras o computadores, según la región). Como estos equipos, a nivel interno, funcionan con dos grados diferentes de voltaje, apelan al sistema binario para indicar el apagado, des energizado, “cero voltios” o inhibido (representado con el 0) o el encendido, energizado, +5 o +12 voltios (1).
Aunque puede parecer extraño, cualquier número del sistema decimal (el más empleado en la vida cotidiana) puede expresarse a través del sistema binario. Sólo hay que seguir alguno de los
métodos establecidos para encontrar la equivalencia. Existen algunos casos especiales para los cuales no es necesario recurrir a ningún procedimiento; por ejemplo, el 0 y el 1, que se mantienen iguales en ambos sistemas.
El método más común consiste en dividir la cantidad del sistema decimal por 2: el número entero que da como resultado se divide nuevamente por 2, de forma sucesiva hasta que el dividendo resulta inferior al divisor. Hecho esto, los restos de cada división se ordenan desde el último resto hasta el primero.
De este modo, si queremos expresar el número 34 en el sistema binario, haremos lo siguiente:
34 / 2 = 17 (resto = 0)
17 / 2 = 8 (resto = 1)
8 / 2 = 4 (resto = 0)
4 / 2 = 2 (resto = 0)
2 / 2 = 1 (resto = 0)
1 / 2 = 0 (resto = 1)
De este modo, podemos determinar que el número decimal 34 es equivalente al número binario 100010. Otro método para la conversión de un número decimal a binario se asemeja al usado para factorizar
números primos, y también consiste en realizar divisiones sucesivas. En este caso, la idea es dividir por 2 el número inicial y colocar un 0 si es par o un 1 si es impar; antes de continuar, si el resultado de la división es impar, debemos restarle 1. Y esto debe aplicarse a cada paso, hasta llegar al 1, al cual siempre le corresponde un 1 como dígito binario. Finalmente, se deben tomar todos los unos y ceros y ordenarlos de abajo hacia arriba, para formar el número binario correspondiente al decimal dado.
A continuación se
demuestra este método, también con el número decimal 34:
34/2 = 17 (dígito binario: 0, ya que 34 es par)
* restamos 1 a 17, dado que es impar
16/2 = 8 (dígito binario: 1, ya que 17 es impar)
8/2 = 4 (dígito binario: 0)
4/2 = 2 (dígito binario: 0)
2/2 = 1 (dígito binario: 0)
1/1 = 1 (dígito binario: 1)
Finalmente, ordenamos de abajo hacia arriba, y obtenemos el número binario 100010, al igual que con el método anterior.
Si, en cambio, deseamos
convertir un número del sistema binario al decimal, los posibles procedimientos son un tanto diferentes. El más usado de los métodos consiste en tomar cada uno de los dígitos del número binario, comenzando desde la derecha, y multiplicarlo por 2 elevado a la potencia correspondiente, siendo 0 el primer exponente. Una vez hecho esto, se deben sumar todos los resultados, para obtener el número decimal equivalente. Veamos la conversión de 100010 en 34:
0 x 20 + 1 x 21 + 0 x 22 + 0 x 23 + 0 x 24 + 1 x 25 = 34
¿cómo convertir de binario a decimal y viceversa?
Decimal
SISTEMA EN BASE 10
Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco, en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así sucesivamente.
POSEE 10 DÍGITOS
Éstos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos números.
VALOR POSICIONAL Y RELATIVO DE CADA DÍGITO
Esto quiere decir que dependiendo de la posición en donde se ubique cada dígito el valor que éste tendrá.
Así por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 3.245 no es el mismo que en el 332, esto debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base.
Así tenemos que en el número 3.245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su valor posicional será de 2*100, es decir 200. Sin embargo, en el número 332 su valor equivaldrá a la multiplicación de 2*1, es decir 2, ya que el 2 se encuentra en la posición de las unidades. Por otro lado, si recordamos cuál es el valor de cada base tendremos:
| Unidades | 1 |
| Decenas | 10 |
| Centenas | 100 |
| Unidades de Mil | 1.000 |
| Decenas de Mil | 10.000 |
| Centenas de Mil | 100.000 |
El siguiente cuadro muestra la posición de los números 321 y 921.004:
Si analizamos los números que se encuentran en la tabla, vemos que en el número 321, el 3 se encuentra ubicado en las centenas, el 2 en las decenas y el 1 en las unidades, por lo que el valor relativo de éstos será 300, 20 y 1, ya que el 3 se encuentra ubicado en las centenas (su valor relativo es 3*100), el 2 se encuentra en las decenas (su valor relativo es 2*10) y el 1 en las unidades (su valor relativo es 1*1).
Al igual que con el número anterior, podemos analizar el número 921.004, donde el 9 se encuentra ubicado en la posición de las centenas de mil y su valor relativo es 900.000 (9*100.000), el 2 se encuentra en la posición de las decenas de mil y su valor relativo es 20.000 (2*10.000), el 1 en la posición de las unidades de mil y su valor relativo es 1.000 (1*1.000) y el 4 se encuentra en la posición de las unidades, por lo que su valor relativo será 4 (4*1).
| Como podemos ver, el valor de un número es la suma de los productos de las cifras por el valor de posición que tiene, tal como lo hicimos con los números anteriores |
El ejercicio que realizamos anteriormente, junto con lo que indica el cuadro de texto, nos sirve para componer y descomponer números. Veamos:
Para componer un número, se nos deben dar los dígitos que lo forman y el valor posicional de éstos. Así por ejemplo, si alguien nos pide construir un número en donde el 9 se encuentre ubicado en las decenas de mil, lo ubicaremos en la posición de las centenas de mil, tal como indica el cuadro de texto, y su valor relativo será de 9*10.000, es decir, 90.000.
Ahora bien, si se nos pide descomponer un número, por ejemplo, el que se muestra a continuación:
Lo que nosotros debemos hacer es multiplicar cada dígito por su valor posicional, obteniendo con ello su valor relativo.
Así tenemos que el valor relativo de 1 será la multiplicación de éste por su valor posicional 1*100.000 = 100.000, del 5 será 5*10.000 = 50.000, de 9 que se encuentra ubicado en las Unidades de Mil será 9*1.000 = 9.000, del 9 ubicado en las Centenas, será 9*100 = 900, del 9 ubicado en las Decenas será 9*10 = 90 y del 0 ubicado en las Unidades será 0*1 = 0.
| CM | DM | UM | C | D | U |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| | 9 | 0 | 0 | 0 |
| | | 9 | 0 | 0 |
| | | | 9 | 0 |
| | | | | 0 |
| 1 | 5 | 9 | 9 | 9 | 0 |
|
Sistema Octal
El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos:
2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d
El subindice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y el número 0.
Binario Octal
000 0
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7
Sistema Hexadecimal
Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad. Para representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciseis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a ésto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a:
1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160
lo que da como resultado:
4096 + 512 + 48 + 4 = 466010
Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciseis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos simbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F. La conversión entre hexadecimal y binario es sencilla, considere la siguiente tabla:
Binario Hexadecimal
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F
Esta tabla contiene toda la información necesaria para convertir de binario a hexadecimal y visceversa. Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir 0ABCDh en un valor binario:
0 A B C D (Hexadecimal)
0000 1010 1011 1100 1101 (Binario)
Referencia:
Definición de sistema binario (http://definicion.de/sistema-binario/)
http://www.escolares.net/matematicas/sistema-de-numeracion-decimal/
https://www.youtube.com/watch?v=bBMhiSy1Grc
